【货车运输】

发表于

作者认为这是一道非常好的题目，既包含了生成树，又包含了求lca以及倍增的思想

进入正题：

容易想到为了让火车最大载重尽量大，我们需要把原图变为它的最大生成树。接下来每次询问两点我们只需要求其简单路径上的边权最小值即可。

还记得ST表吗？我们也是用倍增的思想存储最小值，这里我们同样用倍增。建立一个结构体：

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struct tree {
    int fa,w;
    tree():w(99999999){};//附初值为正无穷
} anc[100005][20];

fa用来表示其祖先节点，w表示它到它祖先节点路径上边权最小值，因此我们得到状态转移方式：

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anc[to][0].fa=x;//x为to的根节点
anc[to][0].w=path[x][i].w;//到其根节点的权值
for(int i=1; i<=19; i++) {
      anc[to][i].fa=anc[anc[to][i-1].fa][i-1].fa;
      anc[to][i].w=min(anc[to][i-1].w,anc[anc[to][i-1].fa][i-1].w);
}

此处有些难以理解（并不），认真想想就能明白。
最后是求整条路径上的最小值，和求lca的代码类似，但多了一些操作：

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void lca(int l,int r) {
//ans保存路径上最小值，初始化为正无穷
    if(d[l]<d[r]) {
        swap(l,r);
    }
    for(int i=19; i>=0; i--) {
        if(d[anc[l][i].fa]>=d[r]) {
            ans=min(ans,anc[l][i].w);
            //一旦能往上跳就更新ans
            l=anc[l][i].fa;
        }
    }
    if(l==r)return ;
    for(int i=19; i>=0; i--) {
        if(anc[l][i].fa!=anc[r][i].fa) {
            ans=min(ans,anc[l][i].w);
            ans=min(ans,anc[r][i].w);
            l=anc[l][i].fa;
            r=anc[r][i].fa;
        }
    }
    //记得下面两句话，因为我们最终左右端点还没跳到lca上
    ans=min(ans,anc[l][0].w);
    ans=min(ans,anc[r][0].w);
    return ;
}

附上完整代码：

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100005;
int n,m,f[maxn],d[maxn],ans,q;
struct edge {
    int u,v,w;
    edge(int a=0,int b=0) {
        v=a,w=b;
    }
} ed[maxn];
struct tree {
    int fa,w;
    tree():w(99999999){};
} anc[maxn][20];
vector<edge> path[maxn];
bool cmp(edge x,edge y) {
    return x.w>y.w;
}
int find(int x) {
    if(f[x]==x)return x;
    return f[x]=find(f[x]);
}
void dfs(int x) {
    for(int i=0; i<(int)path[x].size(); i++) {
        int to=path[x][i].v;
        if(d[to])continue;
        d[to]=d[x]+1;
        anc[to][0].fa=x;
        anc[to][0].w=path[x][i].w;
        for(int i=1; i<=19; i++) {
            anc[to][i].fa=anc[anc[to][i-1].fa][i-1].fa;
            anc[to][i].w=min(anc[to][i-1].w,anc[anc[to][i-1].fa][i-1].w);
        }
        dfs(to);
    }
}
void lca(int l,int r) {
    if(d[l]<d[r]) {
        swap(l,r);
    }
    for(int i=19; i>=0; i--) {
        if(d[anc[l][i].fa]>=d[r]) {
            ans=min(ans,anc[l][i].w);
            l=anc[l][i].fa;
        }
    }
    if(l==r)return ;
    for(int i=19; i>=0; i--) {
        if(anc[l][i].fa!=anc[r][i].fa) {
            ans=min(ans,anc[l][i].w);
            ans=min(ans,anc[r][i].w);
            l=anc[l][i].fa;
            r=anc[r][i].fa;
        }
    }
    ans=min(ans,anc[l][0].w);
    ans=min(ans,anc[r][0].w);
    return ;
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1; i<=m; i++) {
        scanf("%d%d%d",&ed[i].u,&ed[i].v,&ed[i].w);
    }
    sort(ed+1,ed+1+m,cmp);
    for(int i=1; i<=n; i++)f[i]=i;
    int cnt=0;
    for(int i=1; i<=m; i++) {
        int t1=find(ed[i].u),t2=find(ed[i].v);
        if(t1==t2)continue;
        f[t1]=t2;
        path[ed[i].u].push_back(edge(ed[i].v,ed[i].w));
        path[ed[i].v].push_back(edge(ed[i].u,ed[i].w));
        cnt++;
        if(cnt==n-1)break;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(d[i])continue;
        d[i]=1;
        dfs(i);
    }
    scanf("%d",&q);
    for(int i=1; i<=q; i++) {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        if(find(a)!=find(b)){
            printf("-1\n");
            continue;
        }
        ans=99999999;
        lca(a,b);
        printf("%d\n",ans);
    }
}

完结撒花~~